Sucesiones, sumas y binomio

6. Amplía tu ruta · Opcional · Ampliación

Antes de empezar

Distinguir patrones aditivos y multiplicativos y expandir un binomio.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Una sucesión ordena términos por un índice. En una aritmética hay diferencia constante; en una geométrica hay razón constante. Una suma finita reúne un número indicado de términos.

Regla y condiciones

a_n=a_1+(n-1)d,\qquad g_n=g_1r^{n-1}

Aquí n es entero positivo y el primer término tiene índice 1. La suma geométrica g₁(1 − rⁿ)/(1 − r) requiere r ≠ 1; para r = 1, la suma es ng₁.

Una forma de verlo

3, 5, 7, … aumenta por 2; 2, 6, 18, … multiplica por 3. No uses la misma fórmula para ambos patrones.

Un ejemplo resuelto

Encuentra el décimo término y la suma de los primeros diez de 3, 5, 7, …

a_1=3,\quad d=2

Cuenta nueve incrementos
Entre el primer y el décimo término hay 9 pasos.
$a_{10}=3+9(2)=21$
Usa el promedio de los extremos
En una progresión aritmética, la suma es n(a₁ + aₙ)/2.
$S_{10}=\frac{10(3+21)}2=120$

Respuesta

a_{10}=21,\quad S_{10}=120

Comprobación: La suma directa de 3,5,7,9,11,13,15,17,19,21 es 120.

¿Dónde se aplica?

Los patrones discretos permiten modelar cantidades registradas por pasos o periodos.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Usa tres incrementos desde el primer término.

a_1=4,\ d=3,\quad a_4=?

Ver respuesta y explicación · Guiada

13

4 + (4 − 1)·3 = 13.

2. Autónoma

Aplica la razón cuatro veces.

g_1=2,\ r=3,\quad g_5=?

Ver respuesta y explicación · Autónoma

162

2·3⁴ = 2·81.

3. Reto

Expande sin omitir términos.

(x+1)^3

Ver respuesta y explicación · Reto

x^3+3x^2+3x+1

Multiplica (x² + 2x + 1)(x + 1) y reúne términos semejantes.