Factorización, cuadráticas y números complejos

2. Conecta con el álgebra · Intermedia y superior

Antes de empezar

Resolver cuadráticas mediante factores e identificar cuándo aparecen raíces complejas.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Factorizar escribe una suma como producto. Si un producto de números es cero, al menos un factor es cero. Cuando una cuadrática tiene discriminante negativo no posee raíces reales, pero puede resolverse usando i² = −1.

Regla y condiciones

x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

La fórmula cuadrática requiere a ≠ 0. No uses la propiedad del producto cero si el producto es distinto de cero.

Una forma de verlo

Los factores (x − 3) y (x + 3) muestran las dos entradas que hacen cero a x² − 9.

Un ejemplo resuelto

Resuelve por diferencia de cuadrados.

x^2-9=0

Factoriza
Usa a² − b² = (a − b)(a + b).
$(x-3)(x+3)=0$
Iguala cada factor a cero
Un producto nulo tiene al menos un factor nulo.
$x=3\quad\text{o}\quad x=-3$

Respuesta

x=\pm3

Comprobación: 3² − 9 y (−3)² − 9 son ambos cero.

¿Dónde se aplica?

Los ceros de una cuadrática pueden indicar cuándo un modelo alcanza un valor de referencia; hay que revisar si esas soluciones tienen sentido en el contexto.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Busca dos números que multipliquen 6 y sumen 5.

x^2+5x+6

Ver respuesta y explicación · Guiada

(x+2)(x+3)

2·3 = 6 y 2 + 3 = 5.

2. Autónoma

Aísla el cuadrado y considera ambos signos.

x^2=16

Ver respuesta y explicación · Autónoma

x=\pm4

Las dos soluciones tienen cuadrado 16.

3. Reto

Trabaja en los números complejos.

x^2+1=0

Ver respuesta y explicación · Reto

x=\pm i

i² = −1 y (−i)² = −1.