Cónicas: circunferencia y parábola

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Antes de empezar

Reconocer la forma estándar de una circunferencia y conectarla con la distancia.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Las cónicas incluyen circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. Una circunferencia reúne los puntos a distancia r de un centro; su ecuación sale de elevar al cuadrado la fórmula de distancia.

Regla y condiciones

(x-h)^2+(y-k)^2=r^2,\qquad r>0

Esta lección introduce circunferencia y repasa la parábola. Las elipses e hipérbolas requieren un estudio posterior. Si el lado derecho es negativo, no hay circunferencia real.

Una forma de verlo

(x − 1)² + (y + 2)² = 9 tiene centro (1,−2) y radio 3. Los signos interiores se leen como x − h e y − k.

Un ejemplo resuelto

Identifica centro y radio.

(x-1)^2+(y+2)^2=9

Lee el centro
y + 2 es y − (−2).
$(h,k)=(1,-2)$
Extrae el radio
r² = 9 y una longitud es positiva.
$r=3$

Respuesta

\text{centro }(1,-2),\quad r=3

Comprobación: El punto (4,−2) cumple: (4 − 1)² + 0² = 9.

¿Dónde se aplica?

Una zona circular hipotética se describe por la distancia de sus puntos a un centro.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Lee el centro y la raíz del lado derecho.

x^2+y^2=16

Ver respuesta y explicación · Guiada

\text{centro }(0,0),\quad r=4

16 = 4².

2. Autónoma

Completa el cuadrado en x.

x^2+y^2-4x=5

Ver respuesta y explicación · Autónoma

(x-2)^2+y^2=9

Añade 4 a ambos lados; el centro es (2,0) y el radio 3.

3. Reto

Reconoce la parábola y su mínimo.

y=(x+1)^2-4

Ver respuesta y explicación · Reto

\text{vértice }(-1,-4)

El término cuadrado se anula en x = −1 y no puede ser negativo.