Leyes de senos y cosenos

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Antes de empezar

Resolver relaciones en triángulos que no tienen que ser rectángulos.

Si necesitas repasar:

La idea principal

La ley de cosenos relaciona dos lados y su ángulo incluido con el tercer lado. La ley de senos relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto.

Regla y condiciones

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,\qquad\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}

Cada lado debe emparejarse con su ángulo opuesto. Los ángulos de un triángulo suman 180°. Con dos lados y un ángulo no incluido puede haber cero, uno o dos triángulos.

Una forma de verlo

En la ley de cosenos, C es el ángulo entre los lados a y b, y c está frente a C.

Un ejemplo resuelto

Calcula el tercer lado si a = 3, b = 4 y C = 60°.

c^2=3^2+4^2-2(3)(4)\cos60^\circ

Sustituye el coseno
cos 60° = 1/2.
$c^2=9+16-24\left(\frac12\right)=13$
Toma la longitud positiva
Una longitud no es negativa.
$c=\sqrt{13}$

Respuesta

c=\sqrt{13}

Comprobación: |4 − 3| < √13 < 4 + 3; cumple la desigualdad triangular.

¿Dónde se aplica?

En un levantamiento hipotético, dos distancias y el ángulo comprendido permiten calcular la distancia entre sus extremos.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Usa cos 90° = 0.

a=3,\ b=4,\ C=90^\circ

Ver respuesta y explicación · Guiada

c=5

c² = 9 + 16 = 25.

2. Autónoma

Calcula el ángulo faltante.

A=30^\circ,\quad B=80^\circ

Ver respuesta y explicación · Autónoma

C=70^\circ

180 − 30 − 80 = 70.

3. Reto

Aplica ley de senos con lados opuestos.

A=30^\circ,\ B=90^\circ,\ a=2

Ver respuesta y explicación · Reto

b=4

b = 2 sin 90° / sin 30° = 2/(1/2).