Ecuaciones trigonométricas e intervalos

5. Explora la trigonometría · Superior

Antes de empezar

Encontrar todas las soluciones en un intervalo indicado.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Las funciones trigonométricas son periódicas, así que una ecuación puede tener infinitas soluciones. El intervalo solicitado decide cuáles se incluyen; el ángulo de referencia por sí solo puede omitir otro cuadrante.

Regla y condiciones

\sin x=\frac12,\qquad 0\le x<2\pi

Trabaja en radianes y respeta los extremos: 0 está incluido y 2π excluido. Para la solución general, k debe ser entero.

Una forma de verlo

Una horizontal a altura 1/2 corta el círculo unitario en los cuadrantes I y II.

Un ejemplo resuelto

Resuelve en una vuelta completa.

\sin x=\frac12,\quad x\in[0,2\pi)

Encuentra la referencia
El seno de π/6 es 1/2.
$x_1=\frac\pi6$
Incluye el segundo cuadrante
El seno también es positivo allí.
$x_2=\pi-\frac\pi6=\frac{5\pi}{6}$

Respuesta

x=\frac\pi6,\ \frac{5\pi}{6}

Comprobación: Ambos ángulos tienen seno 1/2 y pertenecen a [0,2π).

¿Dónde se aplica?

Una ecuación periódica permite identificar los instantes de un ciclo en que se alcanza un valor dado.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Busca ambos cruces con el eje x.

\sin x=0,\quad x\in[0,2\pi)

Ver respuesta y explicación · Guiada

x=0,\ \pi

2π también tiene seno cero, pero está fuera del intervalo.

2. Autónoma

Localiza ceros del coseno.

\cos x=0,\quad x\in[0,2\pi)

Ver respuesta y explicación · Autónoma

x=\frac\pi2,\ \frac{3\pi}{2}

Son los puntos superior e inferior del círculo.

3. Reto

Extiende las dos soluciones por periodicidad.

\sin x=\frac12,\quad x\in\mathbb R

Ver respuesta y explicación · Reto

x=\frac\pi6+2k\pi\ \text{o}\ x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb Z

Cada rama repite una de las soluciones básicas cada 2π.