Racionales: restricciones, huecos y asíntotas

4. Profundiza en precálculo · Superior

Antes de empezar

Distinguir un factor cancelable de una restricción y una asíntota.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Una función racional es un cociente de polinomios. El dominio original excluye los ceros del denominador. Cancelar un factor común puede revelar un hueco; la restricción original permanece.

Regla y condiciones

\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\quad\text{solo si }x\ne3

Solo se cancelan factores comunes distintos de cero. Un cero del denominador que queda tras simplificar puede generar una asíntota vertical; un factor totalmente cancelado puede dejar un hueco.

Una forma de verlo

La expresión del ejemplo sigue la recta y = x + 3, con un círculo abierto en (3,6). Para (x + 1)/(x − 2), x = 2 es asíntota vertical e y = 1 es horizontal.

Un ejemplo resuelto

Simplifica conservando el dominio original.

\frac{x^2-9}{x-3}

Factoriza el numerador
La diferencia de cuadrados produce un factor común.
$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$
Cancela donde sea válido
x − 3 es distinto de cero solo si x ≠ 3.
$x+3,\qquad x\ne3$

Respuesta

x+3,\quad x\ne3

Comprobación: En x = 4, ambas expresiones valen 7; en x = 3 la original sigue sin estar definida.

¿Dónde se aplica?

Al simplificar una fórmula, sus restricciones deben acompañarla para que un modelo no acepte entradas imposibles.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Conserva la restricción original.

\frac{x^2-4}{x-2}

Ver respuesta y explicación · Guiada

x+2,\quad x\ne2

Factoriza (x − 2)(x + 2); queda un hueco en (2,4).

2. Autónoma

Compara denominador y grados.

r(x)=\frac{x+1}{x-2}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\text{AV: }x=2;\quad\text{AH: }y=1

No hay factor común; los grados iguales dan el cociente 1/1.

3. Reto

No canceles sumandos.

\frac{x+1}{x}

Ver respuesta y explicación · Reto

1+\frac1x,\quad x\ne0

Divide cada término del numerador entre x; no es igual a 1.