Polinomios: ceros y multiplicidad

4. Profundiza en precálculo · Superior

Antes de empezar

Leer los ceros, su multiplicidad y el comportamiento de un polinomio.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Un cero aparece donde un factor se anula. Su multiplicidad es la cantidad de veces que aparece ese factor. Una multiplicidad par mantiene el signo local; una impar lo cambia al cruzar un cero real aislado.

Regla y condiciones

p(x)=(x-1)^2(x+2)=x^3-3x+2

El término de mayor grado controla el comportamiento cuando |x| crece. La multiplicidad informa el comportamiento local, no sustituye el análisis completo de la gráfica.

Una forma de verlo

En x = 1 la gráfica toca el eje sin cambiar de signo; en x = −2 cruza. El término principal x³ dirige la cola izquierda hacia abajo y la derecha hacia arriba.

Un ejemplo resuelto

Encuentra los ceros y sus multiplicidades.

p(x)=(x-1)^2(x+2)

Anula los factores
Cada factor produce un cero.
$x-1=0\Rightarrow x=1,\quad x+2=0\Rightarrow x=-2$
Lee los exponentes
El factor x − 1 aparece dos veces.
$m(1)=2,\quad m(-2)=1$

Respuesta

x=1\ (m=2),\quad x=-2\ (m=1)

Comprobación: p(1) = 0 y p(−2) = 0; la expansión conserva esos ceros.

¿Dónde se aplica?

Los ceros ayudan a localizar cuándo un modelo polinómico alcanza una referencia, dentro del intervalo donde el modelo tiene sentido.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Lee el exponente del factor.

q(x)=(x-3)^2

Ver respuesta y explicación · Guiada

x=3,\quad m=2

El factor se repite dos veces: hay contacto sin cambio de signo.

2. Autónoma

Determina el término principal.

r(x)=-2x^4+x

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\text{ambas colas hacia abajo}

El grado es par y el coeficiente principal es negativo.

3. Reto

Encuentra los tres ceros.

x^3-x=0

Ver respuesta y explicación · Reto

x=-1,\ 0,\ 1

Factoriza x(x − 1)(x + 1); los tres son simples.