Inversa y recíproco

3. Comprende las funciones · Superior

Antes de empezar

Encontrar una inversa y distinguirla de 1/f.

Si necesitas repasar:

• Composición de funciones →
• Expresiones, ecuaciones y desigualdades →

La idea principal

La inversa deshace una función: intercambia el papel de entradas y salidas. Para que sea función, la original debe ser inyectiva en el dominio elegido. El recíproco 1/f solo invierte cada valor no nulo.

Regla y condiciones

Los dominios y recorridos se intercambian en la inversa. Para invertir x² como función real hay que restringir su dominio, por ejemplo a x ≥ 0.

Una forma de verlo

Si f lleva 3 a 7, su inversa lleva 7 a 3. El recíproco de f(3) sería 1/7.

Un ejemplo resuelto

Despeja la entrada de y = 2x + 1.

1. Deshaz las operaciones

   Resta 1 y divide entre 2.

   $$x=\frac{y-1}{2}$$

2. Nombra la función inversa

   Usa x como su variable de entrada.

   $$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$$

Respuesta

Comprobación: f(f⁻¹(x)) = 2((x − 1)/2) + 1 = x para todo x real.

¿Dónde se aplica?

Convertir entre dos escalas de medida requiere fórmulas inversas cuando cada lectura corresponde a una sola lectura de la otra escala.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.