Logaritmos y sus condiciones

4. Profundiza en precálculo · Superior

Antes de empezar

Relacionar logaritmos con exponentes y filtrar soluciones.

Si necesitas repasar:

La idea principal

Un logaritmo responde qué exponente necesita una base para producir un número. Es la función inversa de la exponencial de esa base.

Regla y condiciones

\log_b A=c\iff b^c=A\qquad (A>0,\ b>0,\ b\ne1)

Cada argumento logarítmico debe ser positivo. log(uv) se separa como suma de logaritmos reales cuando u y v son positivos; log(u + v) no se separa así.

Una forma de verlo

log₂8 = 3 dice lo mismo que 2³ = 8, usando como salida el exponente.

Un ejemplo resuelto

Resuelve conservando el dominio.

\log_2(x-1)=3

Impón argumento positivo
x − 1 debe ser mayor que cero.
$x>1$
Pasa a forma exponencial
La base 2 elevada a 3 produce x − 1.
$x-1=2^3=8\Rightarrow x=9$

Respuesta

x=9

Comprobación: 9 > 1 y log₂(9 − 1) = log₂8 = 3.

¿Dónde se aplica?

Los logaritmos permiten recuperar un exponente desconocido en modelos multiplicativos.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Abre la explicación cuando quieras comparar tu procedimiento.

1. Guiada

Encuentra el exponente de 10.

\log_{10}1000

Ver respuesta y explicación · Guiada

3

10³ = 1000.

2. Autónoma

Conserva x + 2 > 0.

\log_3(x+2)=2

Ver respuesta y explicación · Autónoma

x=7

x + 2 = 9, y 7 cumple x > −2.

3. Reto

Pasa a forma exponencial antes de filtrar.

\log_2(x^2-1)=3

Ver respuesta y explicación · Reto

x=\pm3

x² − 1 = 8; ambas candidatas tienen argumento 8 > 0.