Transformaciones lineales en el plano

Álgebra lineal · Universidad · Lección 5 de 5

Antes de empezar

Aplicar una transformación dada por una matriz y relacionar el cálculo con giros y cambios de escala.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

Una transformación asigna a cada vector de entrada un vector de salida. Es lineal si respeta tanto la suma de vectores como la multiplicación por escalares. Multiplicar por una matriz fija produce una transformación lineal: sus columnas indican las imágenes de los vectores base (1, 0) y (0, 1).

Regla y condiciones

T(\mathbf{x})=A\mathbf{x},\qquad T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}),\qquad T(k\mathbf{u})=kT(\mathbf{u})

En esta ficha A es una matriz real 2 por 2 y las entradas son vectores columna reales de dos componentes adimensionales. Una transformación lineal siempre envía el vector cero al vector cero. Trasladar todos los puntos por un vector fijo distinto de cero no cumple esa condición. Para interpretar giros usamos ejes perpendiculares con la misma escala.

Una forma de verlo

Observa primero a dónde van (1, 0) y (0, 1). Cualquier vector (x, y) es x veces el primero más y veces el segundo, por lo que su imagen se construye con esas mismas cantidades de las dos columnas de A.

Un ejemplo resuelto

Aplica al vector (3, 2) la transformación T representada por la matriz indicada. Interpreta el resultado como un giro de 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj.

T\!\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}

Calcula la primera componente de salida.
La primera fila multiplica el vector columna y convierte y en −y.
$0\cdot3+(-1)\cdot2=-2$
Calcula la segunda componente de salida.
La segunda fila convierte x en la nueva segunda componente.
$1\cdot3+0\cdot2=3$
Reúne ambas componentes.
El producto realiza la regla (x, y) → (−y, x), correspondiente al giro indicado.
$T\!\left(\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}$

Respuesta del ejemplo

\begin{bmatrix}-2\\3\end{bmatrix}

Comprobación: Deshaz el giro con la regla inversa (u, v) → (v, −u): (−2, 3) vuelve a (3, 2). Además, la distancia al origen se conserva: antes y después su cuadrado es 3² + 2² = (−2)² + 3² = 13.

¿Dónde se aplica?

Los programas de dibujo usan matrices para girar o escalar figuras. Aplicar la misma matriz a todos sus vértices mantiene la coherencia de la transformación.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Usa la misma matriz de giro sobre el vector adimensional (−1, 4).

\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Guiada

\begin{bmatrix}-4\\-1\end{bmatrix}

La primera componente es 0·(−1) − 1·4 = −4. La segunda es 1·(−1) + 0·4 = −1. Deshacer el giro transforma (−4, −1) en (−1, 4), y ambos vectores tienen longitud al cuadrado 17.

2. Autónoma

Aplica esta transformación al vector adimensional (−2, 1). Describe el cambio de escala en cada eje.

\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2\\1\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\begin{bmatrix}-4\\3\end{bmatrix}

La primera fila da 2·(−2) + 0·1 = −4; la segunda, 0·(−2) + 3·1 = 3. La transformación duplica la componente horizontal y triplica la vertical. Dividir las salidas entre 2 y 3, respectivamente, recupera (−2, 1).