Matrices: filas, columnas y operaciones

Álgebra lineal · Superior · Lección 2 de 5

Antes de empezar

Reconocer las dimensiones de una matriz, sumar matrices y multiplicar una matriz por un vector columna.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Vectores: sumar y cambiar la escala →

La idea principal

Una matriz organiza números en filas y columnas. Su tamaño se escribe filas por columnas. La suma combina las entradas que ocupan la misma posición. En el producto de una matriz por un vector columna, cada fila produce una componente al sumar productos de entradas correspondientes.

Regla y condiciones

A\in\mathbb{R}^{m\times n},\ \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n\times1}\ \Longrightarrow\ A\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{m\times1},\qquad(A\mathbf{x})_i=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j,\qquad(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}

Para sumar, ambas matrices deben tener exactamente las mismas dimensiones. Para multiplicar A por x, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de x. En esta ficha las entradas son reales y adimensionales. En aplicaciones, las unidades de cada producto que se suma deben ser compatibles.

Una forma de verlo

Recorre una fila de la matriz de izquierda a derecha y la columna del vector de arriba abajo. Multiplica las entradas que se encuentran y suma esos productos. Repite con la siguiente fila.

Un ejemplo resuelto

Calcula el producto de la matriz A por el vector columna x. Todas las entradas son adimensionales.

A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}2&1\\-1&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}

Comprueba las dimensiones.
Las dos columnas de A coinciden con las dos filas del vector; cada una de las dos filas dará una componente.
$(2\times2)(2\times1)\longrightarrow2\times1$
Calcula el producto de la primera fila con la columna.
Cada entrada de la fila multiplica la entrada correspondiente del vector y luego se suman los productos.
$2\cdot4+1\cdot2=10$
Calcula el producto de la segunda fila.
La misma regla se aplica conservando el signo de −1.
$(-1)\cdot4+3\cdot2=2$
Escribe los resultados como vector columna.
La primera suma corresponde a la primera fila y la segunda, a la segunda fila.
$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix}10\\2\end{bmatrix}$

Respuesta del ejemplo

\begin{bmatrix}10\\2\end{bmatrix}

Comprobación: Comprueba por columnas: cuatro veces la primera columna, (2, −1), más dos veces la segunda, (1, 3), da (8, −4) + (2, 6) = (10, 2). Es otra forma de construir el mismo producto.

¿Dónde se aplica?

Una matriz de consumo por producto permite convertir cantidades de productos en cantidades totales de materiales, siempre que filas, columnas y unidades estén definidas.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Multiplica la matriz 2 por 2 por el vector columna. Las entradas son adimensionales.

\begin{bmatrix}1&3\\2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Guiada

\begin{bmatrix}14\\0\end{bmatrix}

Las dimensiones interiores coinciden: 2 = 2. La primera fila produce 1·2 + 3·4 = 14 y la segunda 2·2 − 1·4 = 0. Por columnas, 2(1, 2) + 4(3, −1) también da (14, 0).

2. Autónoma

Suma las dos matrices adimensionales. Explica por qué la operación está definida.

\begin{bmatrix}2&0\\-1&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&3\\5&-2\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\begin{bmatrix}3&3\\4&2\end{bmatrix}

Ambas matrices son de 2 filas por 2 columnas. Suma en cada posición: 2 + 1 = 3, 0 + 3 = 3, −1 + 5 = 4 y 4 + (−2) = 2. Restar la segunda matriz al resultado recupera la primera.