Sistemas lineales y eliminación

Álgebra lineal · Superior · Lección 3 de 5

Antes de empezar

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales mediante eliminación y comprobar la solución en ambas ecuaciones.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

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La idea principal

Resolver un sistema significa encontrar valores que satisfagan todas sus ecuaciones a la vez. Una ecuación lineal de dos variables con al menos un coeficiente de x o de y distinto de cero representa una recta; una solución común a dos rectas es un punto de intersección. La eliminación combina ecuaciones para cancelar una variable y facilitar la búsqueda.

Regla y condiciones

\begin{cases}a_{11}x+a_{12}y=b_1\\a_{21}x+a_{22}y=b_2\end{cases}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}

Trabajamos con variables y coeficientes reales adimensionales. Reemplazar una ecuación por ella misma más un múltiplo de otra conserva las soluciones porque la operación se puede deshacer. Se pueden intercambiar ecuaciones y multiplicar una ecuación completa por un número distinto de cero. Un sistema puede tener una solución, ninguna o infinitas.

Una forma de verlo

Dibuja las dos rectas en un mismo plano. Si se cruzan una vez, ese punto debe cumplir las dos ecuaciones; si son paralelas distintas no hay solución, y si coinciden hay infinitas.

Un ejemplo resuelto

Encuentra el par real (x, y) que cumple simultáneamente x + y = 7 y 2x − y = 2.

\begin{cases}x+y=7\\2x-y=2\end{cases}

Suma las dos ecuaciones.
Los coeficientes de y son opuestos, por lo que y + (−y) se cancela; también se suman los miembros derechos.
$(x+y)+(2x-y)=7+2\quad\Longrightarrow\quad3x=9$
Divide entre 3.
El coeficiente 3 es distinto de cero, así que la división mantiene la igualdad.
$x=3$
Sustituye x en la primera ecuación y despeja y.
La primera ecuación fija un único y cuando x ya está determinado.
$3+y=7\quad\Longrightarrow\quad y=4$

Respuesta del ejemplo

x=3,\qquad y=4

Comprobación: Sustituye en las ecuaciones originales: 3 + 4 = 7 y 2·3 − 4 = 2. Ambas igualdades son ciertas. Como la eliminación obligó a x = 3 y después a y = 4, no queda otro par posible.

¿Dónde se aplica?

Dos condiciones sobre dos cantidades, como el número de dos tipos de entradas y su venta total, pueden representarse mediante un sistema lineal.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Suma las ecuaciones para eliminar y y encuentra el par real solución.

\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}

Ver respuesta y explicación · Guiada

x=5,\qquad y=4

Al sumar queda 2x = 10; dividir entre 2 da x = 5. Sustituye en x + y = 9: y = 4. Comprueba en las dos ecuaciones: 5 + 4 = 9 y 5 − 4 = 1.

2. Autónoma

Resuelve el sistema en los números reales y comprueba las dos condiciones.

\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

x=3,\qquad y=2

Suma ambas ecuaciones para obtener 3x = 9 y x = 3. La segunda da 3 − y = 1, por lo que y = 2. La primera cumple 2·3 + 2 = 8 y la segunda 3 − 2 = 1. La eliminación determina un único par.