El determinante de una matriz 2 por 2

Álgebra lineal · Universidad · Lección 4 de 5

Antes de empezar

Calcular un determinante 2 por 2 e interpretar cuándo una matriz conserva dos direcciones independientes.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

El determinante de una matriz cuadrada es un número asociado a la transformación que representa. En dos dimensiones, su valor absoluto es el factor por el que cambia el área; su signo indica si se conserva o invierte la orientación. Un determinante cero indica que el plano se aplasta sobre una recta o un punto.

Regla y condiciones

A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix},\qquad\det(A)=ad-bc,\qquad\det(A)\ne0\ \Longleftrightarrow\ A\text{ es invertible}

La fórmula ad − bc se aplica aquí a matrices 2 por 2 con entradas reales. Un determinante solo se define para matrices cuadradas; esta regla no es la fórmula de una matriz 3 por 3. Las entradas de los ejemplos son adimensionales. La interpretación de área supone coordenadas compatibles.

Una forma de verlo

Las dos columnas señalan los lados de un paralelogramo que parte del origen. Su área es el valor absoluto del determinante. Si una columna está sobre la dirección de la otra, el paralelogramo queda sin área.

Un ejemplo resuelto

Calcula el determinante de A y decide si A es invertible.

A=\begin{bmatrix}3&1\\2&4\end{bmatrix}

Multiplica la diagonal que va de arriba izquierda a abajo derecha.
En la fórmula, este producto es ad.
$ad=3\cdot4=12$
Multiplica la otra diagonal.
En la fórmula, este producto es bc y se restará completo.
$bc=1\cdot2=2$
Resta los productos y decide.
Una matriz cuadrada real es invertible si y solo si su determinante no es cero.
$\det(A)=12-2=10\ne0$

Respuesta del ejemplo

\det(A)=10,\qquad A\text{ es invertible}

Comprobación: Comprueba mediante eliminación: resta dos tercios de la primera fila a la segunda y queda una matriz triangular con diagonal 3 y 10/3. Sumar un múltiplo de otra fila no cambia el determinante; el producto de esa diagonal es 3·(10/3) = 10.

¿Dónde se aplica?

Un determinante distinto de cero permite saber que un sistema cuadrado A x = b tiene una única solución para cada vector b, porque existe la transformación inversa.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Calcula el determinante de esta matriz real 2 por 2.

A=\begin{bmatrix}4&2\\1&3\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Guiada

\det(A)=10

El producto de la diagonal principal es 4·3 = 12. El de la otra diagonal es 2·1 = 2. Resta: 12 − 2 = 10. Al ser distinto de cero, la matriz también es invertible.

2. Autónoma

Calcula el determinante y decide si la matriz es invertible. Observa la relación entre sus filas.

B=\begin{bmatrix}2&6\\1&3\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\det(B)=0,\qquad B\text{ no es invertible}

El determinante es 2·3 − 6·1 = 6 − 6 = 0. Además, la primera fila es el doble de la segunda; no aportan condiciones independientes. El determinante cero confirma que no existe matriz inversa.