Vectores: sumar y cambiar la escala

Álgebra lineal · Superior · Lección 1 de 5

Antes de empezar

Interpretar un vector de dos componentes y calcular una combinación de vectores por componentes.

Puedes comenzar aquí sin completar otra lección.

La idea principal

Un vector de dos componentes describe dos cantidades ordenadas, como un desplazamiento horizontal y otro vertical. La primera componente y la segunda cumplen funciones distintas. Sumar vectores combina sus componentes correspondientes; multiplicar por un número cambia la escala y, si es negativo, también el sentido.

Regla y condiciones

\mathbf{u}=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\end{bmatrix},\quad\mathbf{v}=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix},\quad\mathbf{u}+\mathbf{v}=\begin{bmatrix}u_1+v_1\\u_2+v_2\end{bmatrix},\quad k\mathbf{u}=\begin{bmatrix}ku_1\\ku_2\end{bmatrix}

Aquí las componentes y los escalares son reales. Solo se suman vectores con el mismo número de componentes y referidos a los mismos ejes. En un desplazamiento, las componentes que se suman deben usar unidades compatibles. Los ejemplos numéricos de esta ficha son adimensionales.

Una forma de verlo

Imagina una flecha desde el origen hasta el punto indicado por las dos componentes. Para sumar, coloca el inicio de la segunda flecha en el final de la primera; la flecha del origen al nuevo final representa la suma.

Un ejemplo resuelto

Dados los vectores adimensionales u = (2, −1) y v = (−3, 4), calcula 2u − v.

2\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}

Multiplica ambas componentes de u por 2.
El escalar actúa sobre cada componente del vector.
$2\mathbf{u}=\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}$
Resta la primera componente de v.
Las primeras componentes corresponden al mismo eje; restar −3 equivale a sumar 3.
$4-(-3)=7$
Resta la segunda componente de v y reúne los resultados.
El orden de las componentes se conserva al realizar la resta.
$-2-4=-6,\qquad 2\mathbf{u}-\mathbf{v}=\begin{bmatrix}7\\-6\end{bmatrix}$

Respuesta del ejemplo

\begin{bmatrix}7\\-6\end{bmatrix}

Comprobación: Deshaz la resta: (7, −6) + (−3, 4) = (4, −2), que es exactamente 2u. Esta recomposición recupera el vector que había antes de restar v.

¿Dónde se aplica?

Combinar desplazamientos permite describir una ruta con varios tramos y determinar dónde termina respecto del inicio.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Suma por componentes los vectores adimensionales (1, 3) y (4, −2).

\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}4\\-2\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Guiada

\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}

Suma las primeras componentes: 1 + 4 = 5. Suma las segundas: 3 + (−2) = 1. El vector resultado es (5, 1); al restarle (4, −2) se recupera (1, 3).

2. Autónoma

Para a = (−1, 4) y b = (3, 2), calcula −2a + b. Los vectores son adimensionales.

-2\begin{bmatrix}-1\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\begin{bmatrix}5\\-6\end{bmatrix}

Primero −2a = (2, −8). Luego suma b: (2 + 3, −8 + 2) = (5, −6). Al restar b del resultado queda (2, −8), que coincide con −2a.