Circunferencia y círculo: longitud y área con π

Geometría · Superior · Lección 4 de 5

Antes de empezar

Relacionar radio y diámetro, y distinguir la longitud de una circunferencia del área de su círculo.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Perímetro y área: borde y superficie →

La idea principal

La circunferencia es la curva cuyos puntos están a una misma distancia r del centro. El círculo es la región que encierra, incluyendo su borde. El radio r va del centro al borde; el diámetro d pasa por el centro y equivale a dos radios. El número π es la razón constante entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro.

Regla y condiciones

d=2r,\qquad C=2\pi r=\pi d,\qquad A=\pi r^2

El radio y el diámetro deben ser positivos y usar la misma unidad de longitud. C representa una longitud y A una superficie. Las fórmulas describen un círculo plano completo. Mantén π en resultados exactos; usar un decimal para π introduce una aproximación.

Una forma de verlo

Imagina una cuerda alrededor de una tapa circular: su longitud representa C. La superficie de la tapa representa A. Una línea que atraviesa la tapa por su centro es el diámetro y cada mitad es un radio.

Un ejemplo resuelto

Una tapa circular tiene radio de 3 cm. Calcula su diámetro, la longitud de su borde y su área. Conserva π para dar resultados exactos.

r=3\,\mathrm{cm},\quad d=2r,\quad C=2\pi r,\quad A=\pi r^2

Calcula el diámetro.
Un diámetro contiene dos radios alineados y pasa por el centro.
$d=2(3\,\mathrm{cm})=6\,\mathrm{cm}$
Calcula la longitud del borde.
La longitud de circunferencia equivale a π veces el diámetro y mantiene unidades de longitud.
$C=\pi(6\,\mathrm{cm})=6\pi\,\mathrm{cm}$
Calcula la superficie interior.
El área usa el cuadrado del radio, por lo que sus unidades son cuadradas.
$A=\pi(3\,\mathrm{cm})^2=9\pi\,\mathrm{cm}^2$

Respuesta del ejemplo

d=6\,\mathrm{cm},\qquad C=6\pi\,\mathrm{cm},\qquad A=9\pi\,\mathrm{cm}^2

Comprobación: La razón C/d es (6π cm)/(6 cm) = π, como requiere la definición. Para comprobar el área con el diámetro, A = πd²/4 = π·36/4 = 9π cm².

¿Dónde se aplica?

La longitud de circunferencia permite estimar la distancia que avanza una rueda en una vuelta sin deslizamiento; el área permite calcular la superficie de una mesa circular.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Un círculo tiene diámetro de 10 mm. Halla primero el radio y después la longitud de circunferencia y el área exactas.

d=10\,\mathrm{mm},\qquad r=\frac d2

Ver respuesta y explicación · Guiada

r=5\,\mathrm{mm},\qquad C=10\pi\,\mathrm{mm},\qquad A=25\pi\,\mathrm{mm}^2

Divide el diámetro entre 2 para obtener r = 5 mm. La longitud es C = πd = 10π mm. El área usa el radio: A = π·5² = 25π mm². Las unidades diferencian borde y superficie.

2. Autónoma

La longitud de una circunferencia es 14π m. Calcula el radio y el área de su círculo sin redondear.

C=14\pi\,\mathrm{m},\qquad C=2\pi r

Ver respuesta y explicación · Autónoma

r=7\,\mathrm{m},\qquad A=49\pi\,\mathrm{m}^2

Divide C entre 2π, un número positivo: r = 14π/(2π) = 7 m. Luego A = π·7² = 49π m². Al volver a calcular el borde se obtiene 2π·7 = 14π m, el dato original.