Pitágoras: relacionar los lados de un triángulo rectángulo

Geometría · Superior · Lección 3 de 5

Antes de empezar

Identificar catetos e hipotenusa y calcular una longitud desconocida mediante cuadrados y raíces positivas.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

En un triángulo rectángulo, los catetos son los lados que forman el ángulo de 90°. La hipotenusa está enfrente de ese ángulo y es el lado más largo. El teorema de Pitágoras relaciona las áreas de los cuadrados construidos sobre esos tres lados.

Regla y condiciones

a^2+b^2=c^2,\qquad c=\sqrt{a^2+b^2},\qquad a=\sqrt{c^2-b^2}

El triángulo debe ser rectángulo y no degenerado; a y b son catetos positivos y c es la hipotenusa positiva. Todas las longitudes deben usar la misma unidad. Al hallar un cateto, c debe ser mayor que el cateto conocido. Se elige la raíz positiva porque se calcula una longitud; las raíces pueden dejarse exactas.

Una forma de verlo

Dibuja un cuadrado sobre cada lado del triángulo. La suma de las áreas de los dos cuadrados pequeños iguala el área del cuadrado sobre la hipotenusa; la igualdad relaciona cuadrados de longitudes, no una suma directa de lados.

Un ejemplo resuelto

Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Halla la longitud de su hipotenusa c.

a=6\,\mathrm{cm},\quad b=8\,\mathrm{cm},\quad c^2=a^2+b^2

Asigna los lados según el ángulo recto.
Las dos longitudes dadas son catetos; la incógnita c corresponde al lado opuesto al ángulo de 90°.
$c^2=(6\,\mathrm{cm})^2+(8\,\mathrm{cm})^2$
Calcula y suma los cuadrados.
Pitágoras suma áreas de cuadrados, por lo que esta igualdad se expresa en centímetros cuadrados.
$c^2=(36+64)\,\mathrm{cm}^2=100\,\mathrm{cm}^2$
Toma la raíz positiva.
La longitud es positiva. La raíz de cm² recupera una unidad de longitud.
$c=\sqrt{100}\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{cm}$

Respuesta del ejemplo

c=10\,\mathrm{cm}

Comprobación: Al sustituir, 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Además, 10 cm supera ambos catetos y es menor que 6 + 8 = 14 cm, como exige un triángulo.

¿Dónde se aplica?

Permite calcular la diagonal de una pantalla rectangular o la distancia directa entre dos puntos separados horizontal y verticalmente.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa de 13 m y un cateto de 5 m. Halla el otro cateto a.

a^2+(5\,\mathrm{m})^2=(13\,\mathrm{m})^2

Ver respuesta y explicación · Guiada

a=12\,\mathrm{m}

Resta el cuadrado del cateto conocido: a² = (169 − 25) m² = 144 m². Toma la raíz positiva para obtener a = 12 m. Se comprueba porque 12² + 5² = 144 + 25 = 169 = 13².

2. Autónoma

Un rectángulo mide 5 cm por 7 cm. Halla su diagonal d en forma exacta, sin aproximar la raíz.

d^2=(5\,\mathrm{cm})^2+(7\,\mathrm{cm})^2

Ver respuesta y explicación · Autónoma

d=\sqrt{74}\,\mathrm{cm}

La diagonal divide el rectángulo en triángulos rectángulos, con catetos de 5 y 7 cm. Entonces d² = (25 + 49) cm² = 74 cm² y d = √74 cm. El número 74 no contiene un factor cuadrado mayor que 1, así que la raíz ya está simplificada.