Volumen: capas de una base

Geometría · Superior · Lección 5 de 5

Antes de empezar

Calcular volúmenes de prismas rectos y cilindros rectos a partir del área de la base y la altura perpendicular.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

El volumen mide el espacio ocupado por un sólido. En un prisma recto o cilindro recto, todas las secciones paralelas a la base tienen la misma área B. Multiplicar esa área por la altura h equivale a apilar capas iguales a lo largo de la altura.

Regla y condiciones

V=Bh,\qquad V_{\text{prisma rectangular}}=lwh,\qquad V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h

Las dimensiones deben ser positivas y estar en la misma unidad de longitud. B es el área de una base y h la distancia perpendicular entre las bases. Para el cilindro, r es el radio de la base circular. Estas fórmulas no se aplican directamente a conos ni pirámides. El volumen se expresa en unidades cúbicas; para capacidad interior se usan las dimensiones interiores.

Una forma de verlo

Imagina un recipiente de paredes verticales lleno de capas de un centímetro de alto. Cada capa ocupa el área de la base multiplicada por 1 cm; al apilar h capas aparece la tercera dimensión.

Un ejemplo resuelto

Un recipiente cilíndrico recto tiene radio interior de 2 cm y altura interior de 5 cm. Calcula su capacidad geométrica exacta en cm³, sin espesor de paredes ni espacio sin llenar.

r=2\,\mathrm{cm},\quad h=5\,\mathrm{cm},\quad V=Bh,\quad B=\pi r^2

Identifica la base y la altura.
La base es un círculo de radio 2 cm y la altura perpendicular es 5 cm; se usan dimensiones interiores positivas.
$r=2\,\mathrm{cm},\qquad h=5\,\mathrm{cm}$
Calcula el área de una base.
El área circular usa el radio al cuadrado y se expresa en unidades cuadradas.
$B=\pi(2\,\mathrm{cm})^2=4\pi\,\mathrm{cm}^2$
Multiplica el área por la altura.
Las secciones paralelas a la base mantienen la misma área; área por longitud produce volumen.
$V=(4\pi\,\mathrm{cm}^2)(5\,\mathrm{cm})=20\pi\,\mathrm{cm}^3$

Respuesta del ejemplo

V=20\pi\,\mathrm{cm}^3

Comprobación: Dividir el volumen entre la altura recupera el área de la base: 20π cm³ / 5 cm = 4π cm². Esta área corresponde a un radio de 2 cm porque 4π/π = 2².

¿Dónde se aplica?

Permite calcular el espacio interior de una caja o la capacidad de un tanque cilíndrico ideal, usando medidas interiores y sin contar el espesor de las paredes.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Una caja rectangular tiene dimensiones interiores de 3 cm de largo, 4 cm de ancho y 5 cm de alto. Calcula su volumen interior.

l=3\,\mathrm{cm},\quad w=4\,\mathrm{cm},\quad h=5\,\mathrm{cm}

Ver respuesta y explicación · Guiada

V=60\,\mathrm{cm}^3

El área de la base es B = 3·4 = 12 cm². Multiplica por la altura perpendicular: V = 12·5 = 60 cm³. Como las tres medidas son interiores, el resultado describe el espacio disponible en la caja.

2. Autónoma

Un cilindro recto tiene diámetro de base de 6 m y altura de 4 m. Halla su volumen exacto.

d=6\,\mathrm{m},\quad h=4\,\mathrm{m},\quad r=\frac d2

Ver respuesta y explicación · Autónoma

V=36\pi\,\mathrm{m}^3

El radio es la mitad del diámetro: r = 3 m. La base tiene área π·3² = 9π m². Por tanto, V = Bh = 9π·4 = 36π m³. Usar 6 m como radio daría un volumen cuatro veces mayor.