Probabilidad con resultados equiprobables

Estadística · Superior · Lección 4 de 5

Antes de empezar

Identificar el espacio de resultados y calcular la probabilidad de un evento cuando los resultados son igualmente probables.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Datos y tablas de frecuencias →

La idea principal

Un experimento aleatorio puede producir distintos resultados. El espacio muestral reúne todos los resultados posibles y un evento es el subconjunto que cumple una condición. La probabilidad mide la posibilidad del evento, entre cero y uno. Contar resultados favorables y dividir entre el total funciona si todos los resultados elementales son igualmente probables.

Regla y condiciones

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}\quad\text{si los resultados de }\Omega\text{ son equiprobables},\qquad P(A^c)=1-P(A)

El espacio muestral de esta ficha es finito y no está vacío. Sus resultados elementales se excluyen entre sí, cubren todas las posibilidades y son equiprobables por el supuesto del experimento. Si sus probabilidades son distintas, contar sin ponderarlas no basta. Una probabilidad no tiene unidades; cero significa imposible y uno, seguro dentro del modelo.

Una forma de verlo

Piensa en una casilla por cada resultado igualmente probable. Marca las casillas que cumplen el evento: la fracción marcada del total es su probabilidad.

Un ejemplo resuelto

Se elige al azar una de cinco tarjetas numeradas del 1 al 5, cada una con probabilidad 1/5. Calcula la probabilidad de obtener un número par.

\Omega=\{1,2,3,4,5\},\qquad A=\{\text{números pares}\}

Enumera los resultados posibles.
Las cinco tarjetas tienen la misma probabilidad por el supuesto del sorteo.
$\Omega=\{1,2,3,4,5\},\qquad|\Omega|=5$
Identifica los resultados favorables.
Un número par es divisible entre 2; en este conjunto solo 2 y 4 cumplen la condición.
$A=\{2,4\},\qquad|A|=2$
Divide el número favorable entre el total.
La fórmula por conteo es válida porque los cinco resultados elementales son equiprobables.
$P(A)=\frac25$

Respuesta del ejemplo

P(A)=\frac25

Comprobación: Calcula por el complemento: los impares son 1, 3 y 5, con probabilidad 3/5. Entonces la de par es 1 − 3/5 = 2/5. Ambos eventos cubren todas las tarjetas y no se superponen.

¿Dónde se aplica?

En un sorteo con boletos igualmente probables, comparar boletos favorables con el total permite calcular la probabilidad de ganar una categoría concreta.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Un dado justo tiene seis caras numeradas del 1 al 6, todas igualmente probables. Calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 4.

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\},\qquad A=\{x\in\Omega:x>4\}

Ver respuesta y explicación · Guiada

P(A)=\frac13

Los favorables son 5 y 6: dos caras de seis equiprobables. Por tanto P(A) = 2/6 = 1/3. El complemento contiene cuatro caras y su probabilidad 4/6 confirma que 1 − 4/6 = 1/3.

2. Autónoma

Se elige un entero del 1 al 8 inclusive y cada entero tiene probabilidad 1/8. Calcula la probabilidad de elegir un múltiplo de 3.

\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\qquad A=\{x\in\Omega:3\mid x\}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

P(A)=\frac14

Los únicos múltiplos de 3 entre 1 y 8 son 3 y 6. Hay dos resultados favorables entre ocho igualmente probables: 2/8 = 1/4. Los otros seis forman el complemento, con probabilidad 6/8 = 3/4.