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TUTOR · ESTADÍSTICA

Rango y dispersión de una población

Calcular el rango, la varianza poblacional y la desviación estándar, conservando sus unidades.

Estadística · Superior · Lección 3 de 5

Antes de empezar

Calcular el rango, la varianza poblacional y la desviación estándar, conservando sus unidades.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

La dispersión describe cuánto se separan los datos entre sí o de su media. El rango mide la distancia entre el mayor y el menor. La varianza poblacional promedia los cuadrados de las distancias a la media; los cuadrados evitan que diferencias positivas y negativas se cancelen. La desviación estándar es la raíz de la varianza y vuelve a la unidad original.

Regla y condiciones

R=xmax⁡−xmin⁡,μ=1N∑i=1Nxi,σ2=1N∑i=1N(xi−μ)2,σ=σ2R=x_{\max}-x_{\min},\qquad\mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_i,\qquad\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2,\qquad\sigma=\sqrt{\sigma^2}

Esta ficha estudia una población completa de N datos, con N mayor que cero, y divide entre N para obtener la varianza poblacional. Si se usa una muestra para estimar la varianza de una población, el estimador habitual divide entre n − 1 y exige n mayor que uno; es una cantidad distinta. Todos los datos deben tener unidades compatibles. Rango y desviación estándar usan la unidad original; la varianza la usa al cuadrado.

Una forma de verlo

Sitúa los datos en una recta y marca la media. El rango une los dos extremos; las distancias desde cada dato a la media muestran por qué dos conjuntos con la misma media pueden tener distinta dispersión.

Un ejemplo resuelto

Los cuatro equipos que constituyen toda la población estudiada funcionan 2, 4, 4 y 6 horas durante una prueba. Calcula el rango, la varianza poblacional y la desviación estándar.

2,4,4,6 h,N=42,4,4,6\ \text{h},\qquad N=4

  1. Resta el menor tiempo del mayor.

    El rango mide la separación de los extremos y conserva la unidad de tiempo.

    R=6−2=4 hR=6-2=4\ \text{h}

  2. Calcula la media de la población.

    Las distancias para la varianza se miden desde esta media.

    μ=2+4+4+64=4 h\mu=\frac{2+4+4+6}{4}=4\ \text{h}

  3. Eleva al cuadrado cada diferencia y suma.

    Los cuadrados evitan la cancelación de diferencias con signos opuestos.

    ∑(xi−μ)2=(−2)2+02+02+22=8 h2\sum(x_i-\mu)^2=(-2)^2+0^2+0^2+2^2=8\ \text{h}^2

  4. Divide entre el tamaño de toda la población.

    Como se describen los cuatro equipos completos, el divisor es N = 4.

    σ2=84=2 h2\sigma^2=\frac84=2\ \text{h}^2

  5. Obtén la raíz cuadrada de la varianza.

    La desviación estándar queda expresada en horas.

    σ=2 h\sigma=\sqrt2\ \text{h}

Respuesta del ejemplo

R=4 h,σ2=2 h2,σ=2 hR=4\ \text{h},\qquad\sigma^2=2\ \text{h}^2,\qquad\sigma=\sqrt2\ \text{h}

Comprobación: Comprueba la varianza con otra identidad poblacional: el promedio de los cuadrados es (4 + 16 + 16 + 36)/4 = 18 h²; al restar el cuadrado de la media, 16 h², queda 2 h². El cuadrado de la desviación estándar también devuelve 2 h².

¿Dónde se aplica?

Comparar la dispersión de tiempos de un proceso ayuda a distinguir uno consistente de otro que alterna entre tiempos muy cortos y muy largos, aunque sus medias coincidan.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Una población completa de tres registros tiene tiempos de 1, 2 y 3 horas. Calcula el rango y la varianza poblacional; utiliza divisor N = 3.

1,2,3 h,N=31,2,3\ \text{h},\qquad N=3
Ver respuesta y explicación · Guiada
R=2 h,σ2=23 h2R=2\ \text{h},\qquad\sigma^2=\frac23\ \text{h}^2

El rango es 3 − 1 = 2 horas. La media poblacional es (1 + 2 + 3)/3 = 2 horas. Los cuadrados de las diferencias suman (−1)² + 0² + 1² = 2 h². Divide entre N = 3: la varianza es 2/3 h².

2. Autónoma

Los cuatro valores de una población completa son 2, 2, 6 y 6 minutos. Calcula su rango, varianza poblacional y desviación estándar.

2,2,6,6 min,N=42,2,6,6\ \text{min},\qquad N=4
Ver respuesta y explicación · Autónoma
R=4 min,σ2=4 min2,σ=2 minR=4\ \text{min},\qquad\sigma^2=4\ \text{min}^2,\qquad\sigma=2\ \text{min}

El rango es 6 − 2 = 4 minutos y la media es 16/4 = 4 minutos. Los cuadrados de las diferencias son 4, 4, 4 y 4 min²: suman 16 min². Divide entre los cuatro datos de toda la población para obtener 4 min². Su raíz cuadrada es 2 minutos.

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