Media, mediana y moda

Estadística · Intermedia · Lección 2 de 5

Antes de empezar

Calcular tres medidas de centro e interpretar qué resume cada una de ellas.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Datos y tablas de frecuencias →

La idea principal

La media reparte la suma de los datos en partes iguales. La mediana es el centro de los datos después de ordenarlos: al menos la mitad de los datos son menores o iguales a ella y al menos la mitad son mayores o iguales. La moda es el valor con mayor frecuencia. Puede haber varias modas; en esta ficha, si ningún valor se repite, diremos que no hay moda.

Regla y condiciones

\bar{x}=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n};\qquad\operatorname{Me}=\begin{cases}x_{((n+1)/2)},&n\text{ impar}\\\dfrac{x_{(n/2)}+x_{(n/2+1)}}{2},&n\text{ par}\end{cases}

La media de esta ficha usa datos numéricos con la misma unidad y n mayor que cero. En la fórmula de la mediana, x con índice entre paréntesis indica la posición después de ordenar de menor a mayor. La moda también sirve para categorías. Las tres medidas conservan la unidad de los datos numéricos y pueden ser distintas.

Una forma de verlo

Coloca los datos ordenados en una fila. La mediana se localiza en el centro, la moda donde más se repite un valor y la media como el punto de equilibrio de los datos sobre una recta.

Un ejemplo resuelto

En una muestra de cinco visitas se registran esperas de 5, 7, 7, 9 y 12 minutos. Calcula la media, la mediana y la moda de esos tiempos.

5,7,7,9,12\ \text{min}

Ordena y cuenta los datos.
La mediana depende de las posiciones ordenadas y la media necesita el número de observaciones.
$5\le7\le7\le9\le12,\qquad n=5$
Suma los tiempos y divide entre cinco.
La media reparte el total de 40 minutos entre las cinco visitas.
$\bar{x}=\frac{5+7+7+9+12}{5}=\frac{40}{5}=8\ \text{min}$
Localiza la tercera posición.
Con cinco datos, la posición central es (5 + 1)/2 = 3.
$\operatorname{Me}=7\ \text{min}$
Compara las frecuencias.
Siete aparece dos veces y cada otro valor aparece una vez, por lo que hay una sola moda.
$\operatorname{Mo}=7\ \text{min}$

Respuesta del ejemplo

\bar{x}=8\ \text{min},\qquad\operatorname{Me}=7\ \text{min},\qquad\operatorname{Mo}=7\ \text{min}

Comprobación: Usa el equilibrio de la media: respecto de 8 minutos las diferencias son −3, −1, −1, 1 y 4, y su suma es cero. Para la mediana, el tercer dato sigue siendo 7; para la moda, solo 7 se repite.

¿Dónde se aplica?

Al resumir tiempos de espera, la mediana describe una posición central y la media incorpora todos los minutos, incluidos los tiempos excepcionalmente largos.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Calcula la media, la mediana y la moda de estos tres tiempos de lectura, medidos en minutos.

3,3,6\ \text{min}

Ver respuesta y explicación · Guiada

\bar{x}=4\ \text{min},\qquad\operatorname{Me}=3\ \text{min},\qquad\operatorname{Mo}=3\ \text{min}

La suma es 12 minutos y 12/3 = 4 minutos es la media. Los datos ya están ordenados; el segundo es 3, la mediana. El valor 3 aparece dos veces, más que 6, por lo que la moda es 3 minutos.

2. Autónoma

Calcula la media y la mediana de estos cuatro tiempos en minutos. Decide si hay moda según la convención de la ficha.

2,4,6,8\ \text{min}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\bar{x}=5\ \text{min},\qquad\operatorname{Me}=5\ \text{min},\qquad\text{sin moda}

La suma es 20 minutos, así que la media es 20/4 = 5 minutos. Los valores centrales ordenados son 4 y 6; la mediana es (4 + 6)/2 = 5 minutos. Ningún valor se repite, por lo que aquí se informa sin moda; no se elige uno arbitrariamente.