Derivada: de cambio promedio a cambio instantáneo

Cálculo · Universidad · Lección 3 de 5

Antes de empezar

Calcular una derivada en un punto mediante el límite del cociente incremental e interpretar su significado.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

El cociente incremental mide el cambio promedio de la salida por unidad de cambio de la entrada. La derivada es el límite de esa razón cuando el cambio de entrada se acerca a cero. Si el límite finito existe, da la pendiente de la recta tangente y la tasa de cambio instantánea en ese punto.

Regla y condiciones

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\qquad h\ne0

La función debe estar definida en a y para entradas suficientemente próximas. En esta lección a es interior del dominio y la derivada requiere que el límite bilateral del cociente exista y sea finito. h no vale cero durante la simplificación. La continuidad por sí sola no garantiza derivabilidad. Las unidades de la derivada son unidades de salida divididas entre unidades de entrada.

Una forma de verlo

Traza una recta secante entre los puntos de la gráfica con entradas a y a + h. Al acercar el segundo punto al primero desde ambos lados, las pendientes se aproximan a la de la tangente cuando existe la derivada.

Un ejemplo resuelto

Sea f(x) = x², con dominio R y variables adimensionales. Calcula f′(3) mediante la definición de derivada.

f'(3)=\lim_{h\to0}\frac{(3+h)^2-3^2}{h}

Forma el cambio de salida y divídelo por el de entrada.
Los puntos tienen entradas 3 y 3 + h. La diferencia de entradas es h y debe ser distinta de cero para formar la secante.
$\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h},\qquad h\ne0$
Expande y simplifica el cociente.
Al desarrollar el cuadrado queda un factor h en el numerador. Se cancela porque se trabaja con h distinto de cero.
$\frac{9+6h+h^2-9}{h}=\frac{h(6+h)}{h}=6+h$
Toma el límite de las pendientes.
Cuando h se acerca a cero desde cualquiera de los dos lados, 6 + h se acerca al mismo número finito.
$f'(3)=\lim_{h\to0}(6+h)=6$

Respuesta del ejemplo

f'(3)=6

Comprobación: La recta candidata de pendiente 6 es y = 9 + 6(x − 3). La diferencia entre x² y esa recta es (x − 3)²; al dividirla entre x − 3, el error por unidad de cambio tiende a 0. Esto comprueba la pendiente de la tangente.

¿Dónde se aplica?

Si la salida es posición en metros y la entrada es tiempo en segundos, la derivada representa velocidad instantánea en m/s en los tiempos interiores donde existe.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Para f(x) = 4x + 1, con dominio R y variables adimensionales, usa el cociente incremental para hallar f′(2).

f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{4(2+h)+1-(4\cdot2+1)}{h}

Ver respuesta y explicación · Guiada

f'(2)=4

La diferencia de salidas es (9 + 4h) − 9 = 4h. Para h ≠ 0, el cociente 4h/h vale 4. Su límite es 4, por lo que f′(2) = 4. Coincide con la pendiente constante de la recta.

2. Autónoma

Sea q(x) = x² + 3x, con dominio R y variables adimensionales. Calcula q′(1) a partir de la definición.

q'(1)=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^2+3(1+h)-(1^2+3)}{h}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

q'(1)=5

Al expandir, q(1 + h) = 4 + 5h + h² y q(1) = 4. El cociente es (5h + h²)/h = 5 + h para h ≠ 0. Su límite cuando h se acerca a cero es 5; por tanto, q′(1) = 5.