Límites: acercarse a un valor

Cálculo · Universidad · Lección 1 de 5

Antes de empezar

Interpretar un límite bilateral y resolver una indeterminación sencilla mediante factorización, conservando el dominio original.

Puedes comenzar aquí sin completar otra lección.

La idea principal

El límite de f(x) cuando x se acerca a a describe a qué valor se aproximan las salidas para entradas cercanas a a, sin exigir que x sea igual a a. Un límite bilateral finito existe cuando por la izquierda y por la derecha se llega al mismo valor. La función puede no estar definida en a y aun así tener límite allí.

Regla y condiciones

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\qquad L=\lim_{x\to a}f(x),\quad M=\lim_{x\to a}g(x),\quad M\ne0

Se trabaja con funciones reales definidas para entradas suficientemente cercanas a a por ambos lados, aunque pueden excluir a. La regla del cociente requiere límites finitos y denominador límite distinto de cero. Obtener 0/0 al sustituir no es una respuesta: es una indeterminación que exige otro argumento. Cancelar un factor solo conserva la igualdad donde ese factor no vale cero.

Una forma de verlo

Imagina seguir una gráfica hacia un punto desde la izquierda y desde la derecha. La altura a la que se acercan ambos recorridos determina el límite; un punto aislado dibujado a otra altura no cambia esa aproximación.

Un ejemplo resuelto

Para f(x) = (x² − 9)/(x − 3), definida para x real distinto de 3, calcula el límite cuando x se acerca a 3. Las variables son adimensionales.

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3},\qquad x\ne3

Reconoce la indeterminación y factoriza.
La sustitución directa produce 0/0. La diferencia de cuadrados permite expresar el numerador como un producto.
$x^2-9=(x-3)(x+3)$
Simplifica en el dominio original.
Para x distinto de 3, el factor x − 3 no vale cero y se puede cancelar. No se añade x = 3 al dominio de la función original.
$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3,\qquad x\ne3$
Calcula el límite de la expresión equivalente.
Cerca de 3 las expresiones coinciden; la función x + 3 es continua y se aproxima a 6 desde ambos lados.
$\lim_{x\to3}(x+3)=3+3=6$

Respuesta del ejemplo

\lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6

Comprobación: En el dominio, f(x) − 6 = x − 3. Por tanto, la distancia de la salida a 6 es exactamente la distancia de x a 3. Hacer esta última tan pequeña como se quiera demuestra el límite por ambos lados, sin definir f(3).

¿Dónde se aplica?

Los límites permiten estudiar tasas instantáneas y comportamientos próximos a una entrada donde una fórmula no puede evaluarse directamente.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Calcula el límite de x² + 2 cuando x se acerca a 2. La función está definida para todo x real y las variables son adimensionales.

\lim_{x\to2}(x^2+2)

Ver respuesta y explicación · Guiada

6

Un polinomio es continuo en cada número real, así que el límite se obtiene sustituyendo: 2² + 2 = 4 + 2 = 6. Las aproximaciones desde ambos lados coinciden porque la función es continua en 2.

2. Autónoma

Calcula el límite de (x² − 16)/(x − 4) cuando x se acerca a 4. Conserva la restricción x ≠ 4 y explica por qué la cancelación es válida para el límite.

\lim_{x\to4}\frac{x^2-16}{x-4},\qquad x\ne4

Ver respuesta y explicación · Autónoma

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Factoriza x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Para x ≠ 4, cancela el factor no nulo x − 4 y queda x + 4. Esta expresión coincide con la original a ambos lados de 4, por lo que su límite es 4 + 4 = 8, aunque la función original no esté definida en 4.