Continuidad: hacer coincidir valor y límite

Cálculo · Universidad · Lección 2 de 5

Antes de empezar

Comprobar las tres condiciones de continuidad en un punto y distinguir un hueco reparable de un salto.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Límites: acercarse a un valor →

La idea principal

Una función es continua en un punto cuando su valor allí coincide con el valor al que se acerca la función. Esto exige que el valor esté definido, que exista un límite finito y que ambos sean iguales. En una función por tramos, hay que comprobar qué expresión corresponde al punto y qué ocurre al acercarse desde cada lado.

Regla y condiciones

f\;\text{es continua en}\;a\quad\Longleftrightarrow\quad f(a)\;\text{está definido y}\;\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

Para esta lección, a es un punto interior del dominio considerado y hay entradas cercanas por ambos lados. El límite bilateral debe ser finito y coincidir desde la izquierda y la derecha. En un extremo de un intervalo se usa el límite lateral correspondiente. En un cociente, el denominador debe ser distinto de cero para evaluar directamente la fórmula original.

Una forma de verlo

Un hueco en una curva puede repararse colocando el punto a la altura del límite común. En un salto, las alturas de llegada desde cada lado son distintas; mover un solo punto no consigue unir ambas aproximaciones.

Un ejemplo resuelto

Sea f(x) = (x² − 4)/(x − 2) si x ≠ 2, y f(2) = k. Halla el número real k que hace continua a f en x = 2. El dominio completo es R y las variables son adimensionales.

f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2-4}{x-2},&x\ne2,\\k,&x=2.\end{cases}

Identifica el valor en el punto.
La segunda parte de la definición es la que se aplica exactamente cuando x = 2.
$f(2)=k$
Calcula el límite desde las entradas cercanas.
Para x distinto de 2, factoriza y cancela x − 2. La expresión x + 2 tiene límite 4 desde ambos lados.
$\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$
Iguala el valor y el límite.
La continuidad requiere que el valor definido en el punto sea exactamente el límite común.
$f(2)=\lim_{x\to2}f(x)\quad\Longrightarrow\quad k=4$

Respuesta del ejemplo

k=4

Comprobación: Con k = 4, la función completa coincide con x + 2 para todo número real, incluido x = 2. Al ser una función afín, es continua allí. Cualquier otro valor de k diferiría del límite 4.

¿Dónde se aplica?

Al construir una tarifa o un modelo por tramos, comprobar continuidad permite saber si un cambio mínimo en la entrada provoca un salto en la salida.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Sea p(x) = x² − 3x, con dominio R. Calcula p(1) y su límite cuando x se acerca a 1; decide si p es continua en 1.

p(x)=x^2-3x,\qquad a=1

Ver respuesta y explicación · Guiada

p(1)=\lim_{x\to1}p(x)=-2,\qquad p\;\text{es continua en}\;1

Sustituir en el polinomio da p(1) = 1 − 3 = −2. Los polinomios son continuos en R, por lo que el límite también vale −2. El valor está definido, el límite existe y ambos coinciden: las tres condiciones se cumplen.

2. Autónoma

Sea g(x) = x + 1 para x < 1 y g(x) = 3 para x ≥ 1, con dominio R. Determina los límites laterales en 1 y decide si g es continua allí.

g(x)=\begin{cases}x+1,&x<1,\\3,&x\ge1.\end{cases}

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\lim_{x\to1^-}g(x)=2,\qquad\lim_{x\to1^+}g(x)=3,\qquad g\;\text{no es continua en}\;1

Por la izquierda se usa x + 1 y el límite es 2. Por la derecha se usa la constante 3 y el límite es 3. Como 2 ≠ 3, no existe el límite bilateral. Aunque g(1) = 3 está definido, la función no es continua; cambiar solo ese valor no elimina el salto.