Reglas de derivación: potencias, sumas y cocientes

Cálculo · Universidad · Lección 4 de 5

Antes de empezar

Derivar polinomios y cocientes sencillos, elegir la regla apropiada y evaluar la derivada en un punto del dominio.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

Derivada: de cambio promedio a cambio instantáneo →

La idea principal

Las reglas de derivación resumen resultados que provienen de la definición por límites. Permiten calcular una función derivada sin repetir todo el cociente incremental. Primero se identifica la estructura: suma de términos, potencia o cociente. Después se evalúa la derivada si se pide una pendiente en un punto concreto.

Regla y condiciones

\frac{d}{dx}(cx^n)=cnx^{n-1},\quad\frac{d}{dx}c=0,\quad(f+g)'=f'+g',\quad\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

En la regla de potencia aquí usada, c es una constante real y n un entero positivo; los polinomios y sus derivadas están definidos en R. La regla del cociente requiere que f y g sean derivables y que g no valga cero en el punto. Conserva esa restricción aunque simplifiques la fórmula final. Si las variables tienen unidades, la derivada usa unidades de salida por unidad de entrada.

Una forma de verlo

Mira un polinomio como una suma de piezas: deriva cada pieza y conserva sus signos. Para un cociente, mantén separados numerador y denominador, calcula sus derivadas y coloca cada expresión en su posición de la regla.

Un ejemplo resuelto

Sea f(x) = 3x³ − 4x + 7, con dominio R y variables adimensionales. Obtén f′(x) y calcula la pendiente en x = 2.

f(x)=3x^3-4x+7,\qquad f'(2)=?

Separa la derivada por términos.
La regla de la suma permite derivar cada término conservando sus coeficientes y signos.
$f'(x)=\frac{d}{dx}(3x^3)-\frac{d}{dx}(4x)+\frac{d}{dx}(7)$
Aplica la regla de potencia y la de constante.
Para cada potencia, multiplica por el exponente y réstale uno. La constante 7 no cambia cuando cambia x.
$f'(x)=3\cdot3x^2-4+0=9x^2-4$
Evalúa en el punto solicitado.
La derivada existe en todo R; sustituir x = 2 en la función derivada da la pendiente allí.
$f'(2)=9(2)^2-4=36-4=32$

Respuesta del ejemplo

f'(x)=9x^2-4,\qquad f'(2)=32

Comprobación: La definición ofrece una comprobación independiente en x = 2: f(2 + h) − f(2) = 32h + 18h² + 3h³. Para h ≠ 0, dividir entre h da 32 + 18h + 3h², cuyo límite es 32.

¿Dónde se aplica?

Estas reglas permiten obtener pendientes de modelos polinómicos y tasas de cambio de razones, por ejemplo una cantidad dividida entre otra que también varía.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Sea g(x) = 5x⁴ − 2x², con dominio R y variables adimensionales. Deriva por términos y calcula g′(1).

g(x)=5x^4-2x^2,\qquad g'(1)=?

Ver respuesta y explicación · Guiada

g'(1)=16

La regla de potencia da g′(x) = 5·4x³ − 2·2x = 20x³ − 4x. Al sustituir x = 1 se obtiene 20 − 4 = 16. La evaluación es válida porque el polinomio es derivable en todo R.

2. Autónoma

Sea r(x) = (x² + 1)/(x − 1), definida para x real distinto de 1 y con variables adimensionales. Aplica la regla del cociente y calcula r′(2).

r(x)=\frac{x^2+1}{x-1},\qquad x\ne1,\qquad r'(2)=?

Ver respuesta y explicación · Autónoma

r'(2)=-1

Toma f = x² + 1 y g = x − 1, por lo que f′ = 2x y g′ = 1. La regla da r′(x) = [2x(x − 1) − (x² + 1)]/(x − 1)² = (x² − 2x − 1)/(x − 1)², con x ≠ 1. En x = 2, el denominador no es cero y resulta (4 − 4 − 1)/1 = −1.