Integral definida: acumulación y área con signo

Cálculo · Universidad · Lección 5 de 5

Antes de empezar

Evaluar integrales definidas sencillas con una antiderivada y distinguir acumulación neta de área geométrica.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

Una integral definida acumula productos de altura por pequeños cambios de la entrada. En la gráfica, las regiones sobre el eje horizontal contribuyen positivamente y las que quedan debajo contribuyen negativamente. El resultado es área con signo; puede ser cero aunque haya regiones con área geométrica positiva. Una antiderivada F de f es una función cuya derivada es f.

Regla y condiciones

F'=f\quad\Longrightarrow\quad\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\qquad A_{\text{geométrica}}=\int_a^b |f(x)|\,dx

Aquí se supone que a y b son reales con a < b, que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y que F es una antiderivada en un intervalo que lo contiene. Estas condiciones bastan para aplicar el teorema fundamental del cálculo. La integral coincide con el área geométrica bajo la curva solo si f es no negativa en todo el intervalo; si cambia de signo, hay que separar regiones o integrar su valor absoluto. Sus unidades son las de f multiplicadas por las de x.

Una forma de verlo

Imagina tiras verticales muy estrechas entre la curva y el eje horizontal. Marca positivas las que están arriba y negativas las que están abajo. La integral suma con esos signos; para contar superficie sin cancelación se suman todas las áreas como positivas.

Un ejemplo resuelto

Calcula la integral de f(x) = x − 1 entre 0 y 2 e interpreta su valor. La entrada y la salida son adimensionales; distingue la integral del área geométrica entre la curva y el eje.

\int_0^2(x-1)\,dx

Encuentra una antiderivada y compruébala.
La función x − 1 es continua. La derivada de x²/2 − x es x − 1, de modo que se puede aplicar el teorema fundamental del cálculo.
$F(x)=\frac{x^2}{2}-x,\qquad F'(x)=x-1$
Evalúa extremo superior menos inferior.
El teorema convierte la acumulación en la diferencia F(2) − F(0). Una constante añadida a F se cancelaría en esa resta.
$\int_0^2(x-1)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_0^2=(2-2)-(0-0)=0$
Interpreta la cancelación de signos.
La recta corta el eje en x = 1. Hay un triángulo de área 1/2 debajo del eje y otro de área 1/2 encima; la integral resta esas contribuciones.
$I=-\frac12+\frac12=0,\qquad A_{\text{geométrica}}=\frac12+\frac12=1$

Respuesta del ejemplo

\int_0^2(x-1)\,dx=0,\qquad A_{\text{geométrica}}=1

Comprobación: La comprobación con triángulos usa geometría: cada triángulo tiene base 1 y altura 1, así que su área es 1·1/2 = 1/2. Sus signos opuestos dan integral 0, y sus áreas positivas suman 1.

¿Dónde se aplica?

Si f es velocidad en m/s y la entrada es tiempo en segundos, su integral da desplazamiento neto en metros. La distancia recorrida requiere integrar el valor absoluto de la velocidad para evitar cancelaciones por cambio de dirección.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Calcula la integral de 2x entre 0 y 3. Las variables son adimensionales. Decide si también representa el área geométrica bajo la curva en ese intervalo.

\int_0^3 2x\,dx

Ver respuesta y explicación · Guiada

\int_0^3 2x\,dx=9,\qquad A_{\text{geométrica}}=9

Una antiderivada es F(x) = x² porque F′(x) = 2x. Entonces la integral es F(3) − F(0) = 9 − 0 = 9. Como 2x es no negativa en [0,3], no hay cancelación y también es el área geométrica. El triángulo de base 3 y altura 6 confirma un área de 9.

2. Autónoma

Calcula la integral de 1 − x entre 0 y 3 y el área geométrica entre esa recta y el eje horizontal en el mismo intervalo. Las variables son adimensionales.

\int_0^3(1-x)\,dx,\qquad A_{\text{geométrica}}=\int_0^3|1-x|\,dx

Ver respuesta y explicación · Autónoma

\int_0^3(1-x)\,dx=-\frac32,\qquad A_{\text{geométrica}}=\frac52

Una antiderivada es F(x) = x − x²/2, así que la integral vale F(3) − F(0) = 3 − 9/2 = −3/2. La función cambia de signo en x = 1. Entre 0 y 1 hay un triángulo positivo de área 1/2; entre 1 y 3 hay un triángulo bajo el eje de área 2·2/2 = 2. La integral es 1/2 − 2 = −3/2 y el área geométrica es 1/2 + 2 = 5/2.