Plano cartesiano y pendiente de una recta

Álgebra · Superior · Lección 5 de 5

Antes de empezar

Interpretar pares ordenados, calcular una pendiente y construir una ecuación de recta a partir de dos puntos.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

Un punto (x, y) indica primero la posición horizontal y después la vertical respecto del origen (0, 0). La pendiente de una recta no vertical compara el cambio vertical con el cambio horizontal. Una pendiente positiva indica que y aumenta al aumentar x; una negativa indica que y disminuye. En y = mx + b, m es la pendiente y b es la altura donde la recta cruza el eje vertical.

Regla y condiciones

m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad x_2\ne x_1;\qquad y=mx+b

Se usan coordenadas reales sin unidades. Los dos puntos deben ser distintos y tener coordenadas x diferentes para usar esta fórmula. Una recta vertical tiene x constante y su pendiente no está definida. Una recta horizontal tiene pendiente cero.

Una forma de verlo

Desde el primer punto hasta el segundo, mide el desplazamiento horizontal y el vertical. En una recta, la razón entre esos cambios es constante. Un avance horizontal de una unidad con subida de dos unidades representa pendiente 2.

Un ejemplo resuelto

Calcula la pendiente y una ecuación de la recta que pasa por A(1, 3) y B(5, 11).

A(1,3),\qquad B(5,11)

Calcula ambos cambios en el mismo orden
Resta las coordenadas de A a las de B; mantener el orden evita cambiar solo un signo.
$\Delta x=5-1=4,\qquad\Delta y=11-3=8$
Divide el cambio vertical entre el horizontal
Como el cambio horizontal no es cero, el cociente define la pendiente.
$m=\frac{8}{4}=2$
Halla el cruce con el eje vertical
Sustituye A en y = 2x + b y resta 2 en ambos miembros.
$3=2(1)+b\quad\Longrightarrow\quad b=1$
Escribe la regla de la recta
La pendiente y el cruce encontrados determinan una recta que pasa por ambos puntos.
$y=2x+1$

Respuesta del ejemplo

m=2,\qquad y=2x+1

Comprobación: Sustituir x = 1 da y = 3 y sustituir x = 5 da y = 11. La misma ecuación reproduce ambos puntos y tiene el cambio vertical 8 para el cambio horizontal 4.

¿Dónde se aplica?

En un modelo de costo con cargo fijo, la pendiente puede representar el precio por unidad y el cruce vertical el cargo inicial. Esa interpretación necesita especificar las unidades y el intervalo donde el modelo describe la situación.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Calcula solo la pendiente entre A(−2, 4) y B(2, −4).

A(-2,4),\qquad B(2,-4)

Ver respuesta y explicación · Guiada

m=-2

De A a B el cambio horizontal es 2 − (−2) = 4 y el vertical es −4 − 4 = −8. La pendiente es −8/4 = −2: por cada unidad de avance horizontal, la recta baja dos unidades.

2. Autónoma

Calcula la pendiente y una ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y (6, 3).

(2,1),\qquad(6,3)

Ver respuesta y explicación · Autónoma

m=\frac{1}{2},\qquad y=\frac{1}{2}x

La pendiente es (3 − 1)/(6 − 2) = 2/4 = 1/2. Sustituye (2, 1) en y = x/2 + b: 1 = 1 + b, así que b = 0. La ecuación es y = x/2; con x = 6 produce y = 3 y con x = 2 produce y = 1.