Ecuaciones lineales: mantener el equilibrio

Álgebra · Intermedia · Lección 3 de 5

Antes de empezar

Resolver una ecuación lineal con una incógnita mediante operaciones equivalentes y comprobar la solución.

Puedes repasar estas bases; no necesitas completarlas para continuar:

La idea principal

Una ecuación afirma que dos expresiones tienen el mismo valor. Resolverla consiste en hallar los valores de la incógnita que hacen verdadera esa igualdad. Sumar o restar la misma cantidad en ambos miembros conserva el equilibrio; multiplicar o dividir ambos por un número distinto de cero también lo conserva.

Regla y condiciones

ax+b=c\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{c-b}{a},\qquad a\ne0

Se buscan soluciones reales. La regla mostrada requiere un coeficiente a distinto de cero. Si al simplificar desaparece la incógnita, hay que decidir si queda una igualdad verdadera para todos los reales o una igualdad falsa sin soluciones; no se divide entre cero.

Una forma de verlo

Imagina una balanza con dos lados iguales. Quitar la misma cantidad de ambos lados conserva el equilibrio. Dividir ambos lados en el mismo número de grupos permite conocer el valor de un grupo.

Un ejemplo resuelto

Resuelve 3(x − 2) + 4 = 19 en los números reales.

3(x-2)+4=19

Distribuye el 3
El factor multiplica a cada término del paréntesis.
$3x-6+4=19$
Reúne las constantes
−6 + 4 es −2, sin cambiar el término que contiene la incógnita.
$3x-2=19$
Suma 2 a ambos miembros
La misma suma conserva la igualdad y deja aislado el término 3x.
$3x=21$
Divide ambos miembros entre 3
Como 3 es distinto de cero, la división conserva las soluciones y deja x sola.
$x=7$

Respuesta del ejemplo

x=7

Comprobación: Sustituye en el enunciado original: 3(7 − 2) + 4 = 15 + 4 = 19. Todas las operaciones fueron reversibles, así que 7 es la única solución real.

¿Dónde se aplica?

Si un cobro reúne una cantidad fija y varias unidades de un mismo precio desconocido, una ecuación permite recuperar ese precio a partir del total.

Inténtalo tú

Resuelve en papel o en tu cuaderno. Tú eliges cuándo consultar la respuesta y comparar el procedimiento.

1. Guiada

Resta 3 a ambos miembros y luego divide entre 5. Comprueba en la ecuación original.

5x+3=28

Ver respuesta y explicación · Guiada

x=5

Restar 3 en ambos lados da 5x = 25. Dividir entre 5 da x = 5. La comprobación es 5(5) + 3 = 25 + 3 = 28.

2. Autónoma

Resuelve cuidando el factor negativo del paréntesis.

4-2(x+1)=10

Ver respuesta y explicación · Autónoma

x=-4

Distribuye −2 para obtener 4 − 2x − 2 = 10; reúne las constantes: 2 − 2x = 10. Resta 2 y divide entre −2: −2x = 8, de donde x = −4. En el original, 4 − 2(−4 + 1) = 4 + 6 = 10.